Les corps célestes - Corrigé

Énoncé

Un astronome a observé au jour \(J_0\) le corps céleste \(A\) , qui apparaît périodiquement tous les \(105\) jours. Six jours plus tard ( \(J_0+6\) ), il observe le corps \(B\) , dont la période d'apparition est de \(81\) jours. On appelle \(J_1\) le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l'astronome. Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour \(J_1\) .

1. Soit \(u\) et \(v\) le nombre de périodes effectuées respectivement par \(A\) et \(B\) entre \(J_0\) et \(J_1\) . Montrer que le couple \((u;v)\) est solution de l'équation \((E) \colon 35x-27y=2\) .

2. a. Déterminer un couple \((x_0;y_0) \in \mathbb{Z}^2\)  solution de l'équation  \((E') \colon 35x-27y=1\) .
    b. En déduire une solution particulière \((u_0;v_0)\) de \((E)\) .
    c. Déterminer toutes les solutions de \((E)\) .
    d. Déterminer \(J_1\) .

Solution

1.

• Entre le jour \(J_0\) et le jour \(J_1\) , le corps céleste \(A\) a effectué \(u\) périodes, donc \(J_1-J_0=105u\) .
• Entre le jour \(J_0+6\) et le jour \(J_1\) , le corps céleste \(B\) a effectué \(v\) périodes, donc \(J_1-(J_0+6)=81v\) .

En soustrayant les deux égalités précédentes, on obtient
\(\begin{align*}(J_1-J_0)-(J_1-(J_0+6))=105u-81v& \ \ \Longleftrightarrow \ \ J_1-J_0-J_1+J_0+6=105u-81v\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 105u-81v=6\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 35u-27v=2\end{align*}\)

donc \((u;v)\) est solution de \((E) \colon 35x-27y=2\) .

2. a. On utilise l'algorithme d'Euclide :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r \\ \hline 35&27&1&8 \\ \hline 27&8&3&3\\ \hline 8&3&2&2\\ \hline 3&2&1&1\\ \hline\end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times (-10)\\ \times 3\\ \times (-1)\\ \times 1 \\ \end{array}\end{align*}\)  

donc 
\(\begin{align*}35 \times (-10)+27 \times 3=27 \times 1 \times (-10)+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 35 \times (-10)+27 \times 13=1\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 35 \times (-10)-27 \times (-13)=1\end{align*}\)  

et donc \((x_0;y_0)=(-10;-13)\) est une solution particulière de \((E')\) .

b. On a :  \(\begin{align*}35 \times (-10)-27 \times (-13)=1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 35 \times (-20)-27 \times (-26)=2\end{align*}\)  donc \((u_0;v_0)=(-20;-26)\) est une solution particulière de \((E)\) .

c.

• Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
  On a
  \(\begin{align*}35x-27y=35 \times (-20)-27 \times (-26)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 35(x+20)=27(y+26)\end{align*}\)   
  donc \(27\) divise \(35(x+20)\) .
  Or \(\mathrm{PGCD}(27;35)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(27\) divise \(x+20\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que
  \(\begin{align*}x+20=27k& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=27k-20.\end{align*}\)  
  On a alors
  \(\begin{align*}35(x+20)=27(y+26)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 35 \times 27k=27(y+26)\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 35k=y+26\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=35k-26.\end{align*}\)  
  Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(27k-20;35k-26)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .
• Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(27k-20;35k-26)\) .
  On a
  \(\begin{align*}35x-27y=35(27k-20)-27(35k-26)=35 \times (-20)-27 \times (-26)=2\end{align*}\)  
  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .
• En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(27k-20;35k-26) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

d. Le jour \(J_1\) étant la première apparition simultanée des corps célestes \(A\) et \(B\) après le jour \(J_0\) , il s'agit de déterminer la plus petite valeur de \(k\) pour laquelle \(27k-20\) et \(35k-26\) sont tous deux positifs.

Il est assez clair que l'on doit prendre \(k=1\) , et donc le couple \((u;v)\) correspondant est \((u;v)=(7;9)\) .

On a alors \(J_1-J_0=105u=105 \times 7=735\) , c'est-à-dire que les deux corps célestes \(A\) et \(B\) apparaîtront tous deux \(735\) jours après le jour \(J_0\) .